奇月 发自 凹非寺

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3名高中生，只用课余时候，从头阐发了100年前的数学定理。

不仅仅圆，你不错在 门格海绵（Menger Sponge）中找到任何一个数学 结（knot）！

你可能对门格海绵还比拟生疏，它是Karl Menger（卡尔·门格尔）在1926年创建的一个很是景仰的宗旨，对当代数学、图形学等限制都很蹙迫。

这个分形海绵在一百年间蛊卦了多量专科和业尾数学家，原因也很简短：它看起来太景仰了。

2014年，数百名数学景仰者还参与了一个名为MegaMenger的环球行径，用柬帖制作出了重达200磅的新版块门格海绵。

由于它有多孔、泡沫状的结构，还肤浅被用来模拟减震器和特殊的空间-时候时势。

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它的结构很是优雅。咱们不错从一个立方体登程，起初移除位于其中心以及六个面中心的立方体。然后对剩下的 20 个立方体类似此经过。

在每次迭代中，它的间隙会呈指数级增多，最拆伙构很是类似咱们常见的“海绵”，这亦然它名字的由来。

门格海绵也有着很是超过的数学性质： 跟着迭代，立方体的时势体积会减少到零，而名义积无穷增大。

Menger在1926年提倡这个宗旨时，就阐发了 任何能设想出来的曲线——简短的线条和圆形，看起来像树或雪花的结构——都不错变形然后 镶嵌海绵的某个场所，也便是说这种海绵是一种“ 通用曲线”。

而今天的主角，来自加拿大的3名高中生，侍从其时还在就读多伦多大学商榷生的Malors Espinosa(马洛斯·埃斯皮诺萨)，进一步膨胀了这个定理的阐发。

况且他们还发现，三叶结所属类 “ 普雷策尔结（pretzel knot）”也都不错映射到 四面体版块的门格海绵中。

北卡罗来纳州立大学的拓扑学家Radmila Sazdanovic也评评释，“这是一种很是奥秘的阐发法子。”

这到底是如何作念到的呢？

用弧形图与康托尔集默示结

Malors在阅读了磋议证直快坚韧到，Menger一经阐发不错在他的海绵中找到即兴一个圆。

那么，若是是另外一种 类似于“圆”的时势，这个定理还能栽培吗？

比如一个经典的数学结：将一条绳索诬告并打结，然后将其两头顽固变成一个环。此时，若是让一只蚂蚁沿着它行走，最终它会回到登程点，就像在圆上一样。

这么一来，每个结都与圆等价，约略说“同胚（homeomorphic）”于圆。

Malors从这个想法中获取了灵感，他决定从我方讲课的高中里找一些学生来阐发： 门格海绵中不错找到任何一个结。

自后， 三名高中生——Joshua Broden、Noah Nazareth 和 Niko Voth果真作念到了！

在过问这个阐发动作之前，三位学生从来莫得作念过这种“莫得谜底”的题目，但这群14岁的少年都很是沸腾。

他们的方针类似于用一根小型针穿过一团灰尘，也便是海绵经过屡次移除后剩下的部分。

他们必须将针插在正确的位置，精准无误地打结，况且弗成离开海绵。若是他们的线因为任何一个结而飘浮在海绵的瑕玷中，那就失败了。

固然这看起来很是贫困，但有一种简化的法子。绳结不错默示为一张平面上的特殊图表，称为 弧默示（arc presentations）。

要绘画弧默示图，起初要了解结的各股是如何前后迁徙的。然后，欺诈一套法例将这些信息滚动为网格上的一系列点。网格的每一转和每一列都将包含两个点。

用水缓和垂直线流通这些点。每当两个线段交叉时，将垂直线画在水平线之上。

每个结都不错用这种网格状的形势默示。固然弧默示法偶然看起来比其他的绘画法子更复杂，但它不错让数学家更容易商榷结的一些蹙迫性质。

当学生们看到长短不一的线条图时，他们瞎想起了门格海绵的面。

你不错很是简短地把曲线的水平线放在海绵的一个面上，把垂直线放在海绵的另一个面上。

难点在于如何将结拉伸回三维空间。在曲线的每一个转角处，都需要通过海绵的里面将两个面流通起来，幸免遭遇洞。

为了确保这小数，他们预想了 康托尔集（the Cantor set），它是门格海绵的一维模拟。

要构建这个汇聚，起初要从一条线段驱动，把它分红三份。去掉中间的三分之一，然后对剩下的两段作念相似的不休，依此类推，用之不竭。终末剩下的便是零星的点了。

商榷小组的阐发同期利用了门格海绵和康托尔集，它们有疏导数目的移除本领。

他们发现，海绵面上坐标都在康托尔荟萃的点不应该有洞。况且，由于海绵的类似辩论，在这些点的正后方也不应该有洞。因此，结不错开脱、了了地穿过海绵，而不会不注意跳出海绵的材料。

接下来，学生们要作念的便是阐发他们不错压缩或拉伸即兴绳结的曲线默示，使其悉数角都与康托尔荟萃的坐标对都。(这种压缩和拉伸是可行的，因为它不会影响曲线的合座结构，因此也不会影响它所代表的绳结）。

为了完成这终末一步，3位同学走了一条捷径。

他们阐发，他们不错对任何曲线进行变形，使其垂直线段和水平线段的交叉点都在康托尔荟萃。这就自动保证了更多的角也会与康托尔集对都。

换句话说，他们 总能将给定的结镶嵌门格尔海绵的某个迭代中。

这就一经完成了Malors当先的阐发。不外，他们还想进一步鼓舞这个商榷： 是否悉数的结也不错镶嵌门格海绵的四面体版块中？

关于学生们的想要在四面体中寻找三叶结的想法，Malors着手敬佩是不可能的。

但几周后，学生们果真作念到了：他们找到了一种新法子，不错 将三叶结的弧默示映射到四面体中。

他们自后阐发，这种法子适用于三叶结所属的更庸碌的结类 “ 普雷策尔结（pretzel knot）”。

不外当今关于其他类型的结的阐发还没能完成。

One More Thing

Malors默示，此次阐发经过，让学生们真实体会到了数学商榷的横祸。

不同于高中数学题目中老是会给出肯定的谜底，真实的数学商榷中，很大一部分时候都是 在有但愿的失败中抵御。

Malors以为学生们的阐发法子可能为 更庸碌地测量分形的复杂性提供了一种新念念路。

并非悉数的分形都能保证容纳悉数类型的结。也许不错字据它们能容纳和弗成容纳哪些类型的结来更好地融会它们的结构。

至少，这件作品不错激勉新的艺术灵感，类似于2014年的MegaMenger大赛等等。

在阐发工夫，3位同学都已高中毕业。惟一Broden决定在大学课业不忙的时候连接商榷四面体问题，但三东谈主也都在商量从事数学作事。

另一个同学Nazareth也默示：”我正在苦闷为更大的作事，为谈理的内容作念出孝顺，这嗅觉很非常念念。

— 完—

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发布于：北京市